A Árvore de Pitágoras
Yolanda Kioko Saito Furuya
| A figura utilizada como símbolo do Hipertexto Pitágoras foi
gerada pelo aplicativo computacional algébrico Maple V R4.
Adaptamos um programa de autoria de Harm Derksen. Trata-se de uma
figura fractal construída a partir da figura representativa do
Teorema de Pitágoras (um triângulo retângulo e os três quadrados
desenhados sobre os lados). |
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Para compreender a construção desse fractal começaremos
estudando sua versão bidimensional. Observe na figura abaixo que o
primeiro estágio consiste da figura representativa do Teorema de
Pitágoras, constituída por um triângulo retângulo e os três
quadrados desenhados sobre os lados. No segundo estágio são
desenhados dois triângulos retângulos com hipotenusas coincidentes
com os lados dos quadrados menores, em oposição ao primeiro
triângulo. Sobre os catetos destes triângulos retângulos são
desenhados quadrados, e assim temos mais duas figuras
representativas do Teorema de Pitágoras. No terceiro estágio
obtemos mais quatro triângulos, e assim sucessivamente.
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Esta versão bidimensional da Árvore de
Pitágoras tem 128 triângulos e quadrados, e foi obtida com o
aplicativo computacional Maple V. Clicando com o mouse sobre a
figura você pode ver o programa em um arquivo para leitura (formato
.txt). Se você dispõe do Maple e deseja implementar o programa,
pode obtê-lo no formato .mws no final deste texto, em
Referências. |
A Árvore de Pitágoras tridimensional pode ser obtida de forma
semelhante, com algumas adaptações, para facilitar a colagem:
- utilizar triângulos retângulos isósceles;
- a profundidade w do conjunto-base (triângulo retângulo e seus
quadrados, formando uma forquilha) deve ser tal que h/w = w/c, onde
h = hipotenusa e c = cateto, para que o triângulo retângulo
seguinte tenha hipotenusa = w e profundidade = c, colado com uma
rotação de 90 graus;
- o comprimento dos galhos pode ser aumentado, degenerando
quadrados em retângulos;
- para simplificar o programa, podemos modificar o conjunto base:
utilizar um galho da forquilha descrita acima, isto é, o quadrado
da hipotenusa e o triângulo retângulo, com profundidade w.
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Versão tridimensional da Árvore de Pitágoras,
obtida com o aplicativo computacional Maple V. Clicando com o mouse
sobre a figura você pode ver o programa em um arquivo para leitura
(formato .txt). Se você dispõe do Maple e deseja implementar o
programa, pode obtê-lo no formato .mws logo abaixo, em
Referências. |
Ramos da Matemática
Roberto Ribeiro Paterlini
| Todas as coisas começam em ordem, assim terminarão e assim
recomeçarão, de acordo com o instituidor da ordem e da matemática
mística da cidade celeste. |
| Sir Thomas Browne |
A figura da Árvore de Pitágoras nos recorda que a Matemática é
às vezes comparada com uma árvore, com raízes (Fundamentos da
Matemática), tronco (estruturas numéricas e geométricas) e galhos
(os principais são a Álgebra, a Análise e a Geometria).
Independentemente de ser ou não apropriada essa comparação, vamos
fazer uma breve descrição da Matemática, conforme a vemos
hoje.
Pitágoras
O pentágono regular era de grande significação mística para os
Pitagóricos e já era conhecido na antiga Babilônia.
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pentágono e estrela de cinco
pontas:
figuras de muitos significados para a Matemática e a Filosofia da
Escola Pitagórica. |
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A figura ao lado mostra o significado geométrico do Teorema de
Pitágoras. A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual
à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
Uma das demonstrações mais elegantes do Teorema é conhecida como
a demonstração do quadrado
chinês. Dado um triângulo retângulo de catetos
a e b e hipotenusa
c, construímos dois quadrados de mesmo lado
a+b. Em cada um desses quadrados dispomos quatro
cópias do triângulo retângulo, como na figura abaixo (em vermelho).
A soma das áreas remanescentes do primeiro quadrado (em amarelo e
verde) é igual à área remanescente do segundo quadrado (em azul).
Portanto
a2+b2=c2.
Outra demonstração, também obtida da decomposição do quadrado, é
atribuída a Bhaskara, matemático hindu do Século XII. Segundo [2],
p. 258, Bhaskara teria apenas desenhado a figura e escrito "Veja!",
sem dar maiores explicações.
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O quadrado maior, de lado c, é
decomposto em quatro cópias do triângulo retângulo e mais um
pequeno quadrado de lado a - b. |
